数学课、建模课和比赛之间 (2026-09-21 06:30)

栏目：个人博客

新学期开始以后，我越来越明显地感觉到，时间似乎总是不够用。一边是每天都必须认真面对的数学课堂：备课、上课、作业、订正、辅导、学情分析，每一件事情看起来都很普通，却没有一件可以真正省略。一个概念学生到底有没有理解，一道题为什么反复出错，一次考试以后哪些学生正在掉队，下一节课究竟应该继续向前，还是停下来再巩固一次，这些细节构成了数学教师最真实的日常。

另一边，是我越来越喜欢、也越来越投入的数学建模教学。带学生从一个真实的问题出发，讨论变量、寻找数据、提出假设、建立模型，再根据模型的结果回到现实中进行解释和修正，这样的学习方式和传统意义上的数学课很不一样。也正因为如此，我总能在建模课中看到学生身上平时不太容易被发现的一面：有些学生计算并不算快，却特别善于发现问题；有些学生考试成绩未必最突出，却能提出一个非常有价值的假设；还有一些平时不太愿意举手的孩子，在小组讨论中却能够不断追问“为什么一定要这样做”。

再往旁边看，还有比赛。数学建模比赛、长期题、论文、答辩、展示，每一次比赛到来，都会迅速把时间填满。从选拔学生、组建队伍，到确定问题、讨论方案、修改模型，再到报告撰写和答辩准备，任何一个环节都很难靠临时突击真正做好。

于是，这个学期我越来越频繁地问自己一个问题：

数学课、数学建模课和比赛之间，到底应该是什么关系？

过去我可能会把它简单理解成一个时间管理问题，好像只要安排得更合理一些，就能够同时兼顾。但现在我越来越觉得，它首先是一个教育选择的问题。教师的时间永远是有限的，而真正需要回答的，不是“怎样把三件事都塞进去”，而是“什么应该放在最前面”“三件事情究竟分别承担什么样的教育功能”。

一、最不能丢掉的，仍然是每天那节普通的数学课

做数学建模以后，很容易产生一种错觉，仿佛越开放的问题越高级，越复杂的模型越有价值，竞赛中的探究才最能够体现学生的数学能力。但真正重新回到每天的课堂以后，我越来越不认同这种简单的判断。对于绝大多数学生来说，真正长期塑造他们数学学习状态的，并不是一年中的某一次比赛，而是每天都在发生的那四十分钟。

一个学生是否愿意思考，是否敢于表达，是否能够把理由讲清楚，是否愿意在做错以后重新分析，本质上都不是在比赛前一个月突然形成的。这些习惯是在日复一日的课堂中慢慢积累起来的。因此，这个学期我给自己设定的一个最基本原则就是：不能因为建模和竞赛看起来更“亮眼”，就忽略常规数学教学。

班级中的学生不会因为老师最近正在准备比赛，就自动把函数学会；也不会因为老师刚刚指导学生取得了一个奖项，几何证明里的逻辑漏洞就自然消失。学生不会等老师，课堂也不会。尤其是作为一名班级数学教师，我越来越能感受到一个非常朴素的事实：真正影响学生的，往往不是那些特别宏大的课程设计，而是一些很细小的课堂决定。

一道例题，我是直接把解法告诉学生，还是允许他们先走一点弯路？一个学生回答错误，我是迅速叫下一位同学，还是愿意多问一句“你刚才为什么会这样想”？一次测验之后，我看到的是平均分、排名和优秀率，还是能够具体找到哪些知识点正在形成新的分化？这些事情或许不会成为比赛中的成果，也未必能够写进一篇漂亮的总结里，但它们决定了学生每天是在“完成数学”，还是在真正“学习数学”。

数学建模做得越多，我反而越敬畏普通课堂。因为我慢慢意识到，所谓高阶能力，从来不是悬浮在基础知识之上的。学生能够进行建模，是因为他首先能够理解数量关系；能够比较不同方案，是因为他具备基本的数据意识；能够解释模型，是因为他能够使用数学语言进行表达；能够质疑结论，则需要他长期形成逻辑推理和反思的习惯。所有这些能力的根，依然扎在每天的数学课堂里。

二、我开始重新思考：数学建模课到底要教什么

刚开始接触数学建模教学的时候，我非常容易把“模型”理解成课程的核心。一节课学习一种方法，下一节再学习另一种方法，学生似乎每多掌握一种工具，就离数学建模更近了一步。但真正带学生做过一些完整的问题以后，我越来越觉得，会一种模型，与会数学建模，是两件并不完全相同的事情。

现实中的问题不会在最后一行写一句“请使用某某方法解决”，也不会提前告诉学生哪些因素是重要的、哪些数据应该收集、哪些变量应该保留。现实问题甚至常常连“问题究竟是什么”都没有完全说清楚。学生首先面对的并不是一个已经整理好的数学问题，而是一堆混杂在一起的现实信息。这才是数学建模真正困难、也真正有价值的地方。

学生需要先判断：哪些信息有价值？一个看似简单的问题究竟应该怎样量化？什么因素应该进入模型，什么因素可以暂时忽略？哪些条件可以合理假设？我们的数据可靠吗？不同的人得出了不同的权重，谁才是正确的？如果模型计算出一个精确到小数点后三位的答案，它真的就比人的经验和判断更加可信吗？

慢慢地，我开始觉得，数学建模课真正珍贵的地方，恰恰在这些“模型出现之前”的过程里。因此，现在再设计课程时，我越来越愿意晚一点告诉学生方法，先让他们面对问题，甚至允许他们在一开始“乱”一点。让他们争论什么信息重要，争论怎样定义“最好”，争论到底有没有一种绝对公平的评价方案。

只有当学生发现，原有的知识不足以完全解决眼前的问题，他们才真正产生学习新方法的需要。这个时候，一个模型不再是教师要求学生记住的一套步骤，而成为他们主动寻找的一种工具。前一种学习状态是“老师今天教我们一种方法”，后一种则是“我们遇到了一个问题，而这种方法恰好能够帮助我们”。

我越来越希望自己的数学建模课属于后者。因为我真正想教给学生的，从来都不应该只是几种算法，而是一种面对复杂问题时的思考方式。

三、建模真正吸引我的，是它允许学生暂时没有答案

传统数学课堂中，我们太习惯问题有答案了。一道方程题有答案，一道几何证明有结论，一道函数题通常也有相对明确的解法。甚至很多时候，学生还没有真正理解问题，就已经开始猜老师期待的答案是什么。

但数学建模并不是这样。一个现实问题可能有很多种合理的定义，不同的小组可能采用不同的数据，不同的人也可能因为价值判断不同而建立不同的模型。这意味着课堂中出现的分歧，并不一定需要立刻被消灭。恰恰相反，这些分歧本身就是学习的一部分。

这是我做数学建模以后非常喜欢的一点。以前上课的时候，我总希望课堂尽可能“顺”。问题提出以后，学生最好迅速回答到我提前设计好的位置，然后自然进入下一环节。可现在我越来越觉得，一节真正有思考的数学课，有时候反而不会那么顺。学生会提出预设之外的问题，会有人不同意，会有人发现一个反例，甚至会有人把老师原本准备好的路径直接推翻。

以前遇到这种情况，我的第一反应可能是把课堂尽快拉回来。现在我会更愿意停下来判断：这个偏离到底有没有价值？如果有，那么就让它发生。因为一个真正属于学生的问题，往往比教师精心准备的一个标准答案更有教育意义。

这也让我重新理解了教师的角色。教师不一定总是那个最快给出答案的人。有时候，教师更重要的工作，是判断什么时候应该提示，什么时候应该等待，什么时候需要补充知识，什么时候应该让学生继续碰壁，什么时候一个错误值得被保留下来，成为全班共同讨论的材料。

这种判断，比直接告诉学生一个模型复杂得多，也更考验教师的专业性。

四、比赛让我看到学生的可能，也让我开始警惕“比赛化”

这一年带学生参加数学建模比赛以后，我越来越认可竞赛的价值。尤其是建模类比赛，它能够让学生经历一个相对完整的问题解决过程。学生需要长时间围绕一个问题持续思考，需要团队协作，需要查阅资料，需要根据反馈反复修改，还要在最后面对别人解释：我们为什么这样做？

这是普通课堂中很难完整提供的一种学习体验。有时候我会明显感觉到，一个学生经过一次真正投入的比赛之后，整个人的学习状态都会发生变化。他开始知道，一道困难的问题不是五分钟没有思路就意味着“不会”；他开始习惯修改，第一版方案不好没有关系，数据不合理可以再找，模型解释不通可以重新调整，别人提出质疑也不是否定，而是提醒自己重新寻找证据。

这种“允许方案不断变好”的学习经历，本身就非常宝贵。所以我不会否定比赛。恰恰相反，我依然会认真带学生准备比赛，既然决定参加，就应该认真对待。

但与此同时，我现在也越来越警惕另一件事：不能让数学建模最终变成竞赛训练。

一旦比赛成绩成为唯一目标，很多事情会悄悄发生变化。教师会天然倾向于选择能力最强的学生，课程会越来越关注“哪些方法比赛可能用到”，一个问题有没有教育价值可能慢慢变成“它能不能做出漂亮的结果”，学生也容易把数学建模理解成少数尖子生的事情。如果发展到最后，建模课的意义只是为比赛筛选学生，那么它就和我最初希望做的事情越来越远了。

我更希望比赛是一座山峰，而不是整片山脉。学生可以向那里走，但我们的数学建模教育不能只有那一个方向。有的学生适合参加比赛，有的学生可能只需要经历一次完整的项目，还有的学生在数学建模中最大的收获，可能只是第一次发现，原来平时学的一次函数、方程、不等式，真的能够解释现实中的问题。

这些收获没有奖状，但它们同样重要。

五、这个学期，我想把三件事情真正连起来

因此，这个学期我给自己重新梳理了一下这三条线。我希望它们不再是三件彼此争夺时间的事情，而是能够形成一种清晰的层次关系。

数学课堂打基础，数学建模拓边界，竞赛项目做深度。

在日常课堂中，我依然要认真落实基础知识、基本技能和基本思想。函数就是要把函数学明白，方程就是要让学生真正理解数量关系，几何证明就是要训练推理的严谨性。不能因为强调核心素养、真实情境和探究学习，就轻视基础。相反，越是想让学生走向真实问题，越需要扎实的数学基础作为支撑。

与此同时，我也希望在普通数学课堂里多留一点“为什么”。学生学习一次函数以后，除了求解析式，还能不能思考真实世界中的两个变量为什么可能呈现线性关系？学习统计以后，除了计算平均数和中位数，还能不能讨论“平均数真的能够代表所有人吗”？学习概率以后，能不能进一步讨论“一个概率很小的事件，在现实决策中就真的可以忽略吗”？

这些问题不会立即变成完整的数学建模项目，却会慢慢改变学生看待数学的方式。到了数学建模课，我们再把这种思考进一步放大，让学生完整经历提出问题、作出假设、寻找数据、建立模型、求解模型、检验结果、解释现实、反思改进的过程。到了竞赛，则是在这个基础上进一步延长研究时间、增加问题复杂度、提高表达和论证要求。

如果能够真正形成这样的联系，那么比赛就不再是额外增加的一项负担，而只是课程中一部分学生继续向前走的一条路。

六、比时间管理更难的，其实是教师自己的取舍

说到底，这个学期真正需要平衡的，可能不只是时间，更是我自己的欲望。

教师也很容易被一种“不断做更多事情”的惯性推着向前。再做一个项目，再参加一个比赛，再准备一次展示，再写一篇文章。这些事情本身都没有错，甚至很多时候，它们也确实推动着教师成长。但问题在于，时间和精力永远有限。当所有事情都被定义成“重要”的时候，真正重要的事情反而容易被淹没。

所以现在我会反复提醒自己，不是每一个比赛都必须参加，不是每一项活动都必须做到最大，也不是每一个成果都必须变成一篇文章。有些时间，本来就应该留给学生，留给一次并不完美的课堂，留给一次课后的复盘，留给一次和学生真正的交流，也留给自己安静地想一想：今天这节课，究竟哪里没有处理好？

过去我可能更容易关注一节课有没有新的设计，现在我越来越关注的是：学生到底有没有真的学会？

这听起来很普通，却可能也是教师最应该守住的一件事。教育中的很多创新，最终都要回到学生是否真正发生了学习。如果课堂形式很新、技术很多、模型很复杂，但学生只是按照教师安排完成了一个漂亮的作品，那么这样的“创新”究竟产生了多少真实的学习，依然值得反思。

七、我也开始接受：好的教育成果，很多时候是看不见的

比赛成绩是看得见的，一等奖、二等奖，数字很清楚；考试成绩也是看得见的，平均分、优秀率、排名，都可以统计。但教育中真正珍贵的很多变化，其实很难被量化。

一个学生过去遇到困难就放弃，现在愿意再试十分钟；一个孩子过去只关心答案，现在开始主动问“为什么”；一个小组原来只等能力最强的同学分工，现在开始真正讨论；一个学生第一次发现，自己的一个想法能够影响整个团队的方案。这些变化很难写在成绩单上，也很难在一场比赛结束之后立刻被看见。

但我越来越觉得，它们才是数学建模最值得坚持的理由。

当然，作为老师，我依然会关注结果。学生认真准备了比赛，我当然希望他们取得好成绩；班级参加考试，我当然希望学生有所进步。但我希望自己能够越来越清楚地分辨：结果是教育的一部分，却不是教育的全部。

比赛结束以后，奖状会被收起来；一次考试的分数，也很快会被下一次考试覆盖。真正可能留下来的，是学生面对问题时形成的习惯，是他们在遇到未知问题时是否愿意继续思考，是他们面对自己的错误时是否愿意重新修正，是他们在没有标准答案时能不能依然保持判断和表达的勇气。

八、建模最后改变的，也许首先是我自己

回头看这一年，我越来越觉得，我最初以为自己是在教学生数学建模，但走到现在才发现，数学建模其实也一直在重新教育我。

它让我更加接受课堂中的不确定性，让我明白学生不按照我的思路走，并不一定是一件坏事；它让我开始习惯追问“有没有其他方法”“这个结论的证据是什么”“我们是不是忽略了什么条件”“这个看起来很漂亮的结果真的符合现实吗”。

而这些问题，后来又慢慢回到了我的普通数学课堂。以前我可能更习惯问“这道题怎么做”，现在我越来越愿意问“你为什么会想到这样做”“如果条件改变呢”“有没有一个反例”“你怎么证明你的方法一定成立”“还有别的方法吗”。

或许这才是我做数学建模教学以后最大的变化。并不是我掌握了多少模型，而是我越来越愿意把课堂中的一部分确定性交还给学生。教师不必永远提前知道课堂会走到哪里，但需要有能力判断学生此刻的探索是否有价值，需要知道什么时候应该拉回来，什么时候又应该继续追问。

从这个意义上说，数学建模带给我的，不只是课程内容上的变化，更是一种教学观念上的变化。我开始更加相信，学习并不总是沿着一条被教师提前设计好的最短路径发生的。有时学生走过的弯路、提出的错误假设、经历的争论，恰恰是理解真正发生的地方。

九、这个学期，我想慢一点，也想走得更远一点

新学期才刚刚开始。班级数学教学、数学建模课程、竞赛指导，这三件事情依然会同时存在。我也知道，真正忙起来以后，很多理想状态未必能够全部实现。我可能还是会因为一节课准备得不够满意而焦虑，可能还是会在比赛前和学生一起反复修改方案，也可能在某个晚上突然发现，第二天的数学课还有很多地方需要重新调整。

但至少现在，我越来越清楚自己想守住什么。

先把每一天的数学课上好，这是底线；再把数学建模真正做成一门让学生学会解决问题的课程，这是我想继续探索的方向；至于比赛，就认真准备，但不让比赛成为教育本身，这是我希望自己始终保持的清醒。

我希望几年以后再回头看，真正让我感到值得的，不只是带学生参加过多少比赛、获得过多少奖项，而是我能够看到：有一些孩子，因为我的数学课，不再那么害怕数学；有一些孩子，因为数学建模，第一次意识到数学并不只存在于课本里；还有一些孩子，因为一次很长、很难的探究，发现自己原来也可以面对一个没有标准答案的问题，并一步一步走下去。

如果这些真的发生了，那么很多事情就都有了意义。

数学课、建模课和比赛之间，也许本来就不需要选出一个最重要的。真正需要做的，是让它们回到各自应该在的位置：让数学课守住基础和日常，让建模课打开真实世界，让比赛提供更远的挑战。教师站在它们之间，需要做的不是不断把学生推向更难、更快、更高的地方，而是知道什么时候应该向前，什么时候应该停下来，什么时候应该给学生方法，什么时候又应该把问题重新交还给他们。

我想，这种判断本身，也许就是教师专业成长的一部分。

而我现在，还在数学课、建模课和比赛之间，慢慢找到属于自己的节奏。

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